"UNIDAD 3": 3.7-transformada de funciones multiplicativas

Ejemplo
Calcule

$\displaystyle {\cal L} \{ t^2 Sen(2t) \}$

Solución
Aplicando el teorema anterior para

, tenemos que

$\displaystyle {\cal L} \{ t^2 Sen(2t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (-1)^2 \left( {\cal L} \left\{ Sen(2t) \right\} \right)^{\prime \prime}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left( \frac{2}{s^2 + 4} \right)^{\prime \prime}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{12s^2 - 16}{\left( s^2 + 4 \right)^3}$

El siguiente ejemplo muestra una combinación del primer teorema de traslación y el teorema anterior.
Ejemplo
Calcule

$\displaystyle {\cal L} \{ te^{-2 t} Cos(3t) \}$

Solución
Primero aplicamos el teorema de multiplicación por

y luego el de traslación

$\displaystyle {\cal L} \{ te^{-2 t} Cos(3t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle - \left( {\cal L} \{ e^{-2 t} Cos(3t) \} \right)^{\prime}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle - \left( {\cal L} \{ Cos(3t) \}_{s \rightarrow s +2} \right)^{\prime}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle - \left( \frac{s +2 }{ (s+2)^2 + 9} \right)^{\prime}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{s^2 + 4s - 5}{\left( s^2 + 4s + 13 \right)^2}$

Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral

$\displaystyle \int_0^{\infty} t e^{-2t} Cos(3t) dt$

Solución
Por el teorema de multiplicación por

, tenemos que

$\displaystyle {\cal L} \{t Cos(3t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{\infty} te^{-st}Cos(3t)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (-1)^{1} \left( \frac{s}{s^2 + 9} \right)^{\prime}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{s^2 - 9}{\left( s^2 + 9 \right)^2}$

"UNIDAD 3"